# Voronoi Diagram 基础讲解

# 什么是 Voronoi Diagram?

给定一个点集 $P = \{p_1, p_2, \dots, p_n\}$，Voronoi 图是将平面划分为 $n$ 个区域（称为 Voronoi Cells），每个区域对应一个点 $p_i$，使得该区域中任意一点 $q$ 满足：

$\text{dist}(q, p_i) < \text{dist}(q, p_j) \quad \forall j \neq i$

通俗来说，想象你在一个城市里有很多咖啡店，Voronoi 图的作用就是把整个城市划分成若干区域，每个区域内的所有人，走路距离都最接近某一家咖啡店。换句话说，它告诉你「谁最靠近谁」。

# Voronoi Diagram 的基本构成

• Voronoi Cell：每个点 $p_i$ 的最近邻域。
• Voronoi Edge：两个 Voronoi cell 的公共边，即两个点的中垂线的一部分。
• Voronoi Vertex：三个或更多 Voronoi cell 的交点，等距于对应的点。

# 图示结构：

1
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7
8

      Voronoi Vertex
           ⬤
          /|\
         / | \
        /  |  \
Cell A /   |   \ Cell B
      -----⬤-----
          Voronoi Edge

# 基本性质

1. 连通性：Voronoi 图是连通图。
2. 边类型：Voronoi Edge 是线段或射线（半无限长），除非所有点共线。
3. 复杂度：
   • Voronoi 顶点数：最多 $2n - 5$
   • Voronoi 边数：最多 $3n - 6$
   • 结论：总复杂度是线性的 $O(n)$

# 空圆性质（Empty Circle Property）

# Voronoi 顶点的判定：

一个点 $q$ 是 Voronoi 顶点 ⟺ 存在一个最大空圆 $C_P(q)$，其边界上恰好有三个点 $p_1, p_2, p_3 \in P$，且圆内部不包含其它点。

# Voronoi 边的判定：

两点 $p_1, p_2$ 之间存在 Voronoi 边 ⟺ 在它们的中垂线上存在点 $q$，其最大空圆仅以 $p_1, p_2$ 为边界点。

# 应用举例

• 疫情分析（如 John Snow 的霍乱图）
• 最近邻搜索（NN、kNN）
• 地理信息系统（GIS）
• 图像处理与分割
• 网络规划（如通信塔覆盖区域）
• 机器学习中的聚类（如 K-means）

# Voronoi 图复杂度的欧拉公式证明

我们希望证明：对于 $n > 2$ 个点的 Voronoi 图 $V(P)$，其复杂度是线性的：

• 顶点数 $\leq 2n - 5$
• 边数 $\leq 3n - 6$

# 📐 使用欧拉公式

欧拉公式是平面图中的基本定理：

$$V - E + F = 2$$

其中：

• $V$ 是顶点数
• $E$ 是边数
• $F$ 是面数（Voronoi cell 数量，即原始点数 $n$）

# 🔧 添加虚拟点使图封闭

由于 Voronoi 图的某些边是无穷延伸的半线，不能直接套用欧拉公式。为了解决这个问题，我们：

• 添加一个虚拟点 $v$
• 将所有半线连到 $v$，使图成为封闭图

这样我们有一个新的图，满足欧拉公式：

$$(V + 1) - E + n = 2 \quad \text{（记作 *）}$$

# 🔁 顶点度数下界

Voronoi 图中的每个顶点（包括新增的 $v$）至少有 度数为 3，因为：

• 一个 Voronoi 顶点是三个 Voronoi cell 的交点
• 所以它至少连接三条边

因此：

• 所有顶点度数之和 $\geq 3(V + 1)$
• 而总度数也等于 $2E$

所以：

$$2E \geq 3(V + 1) \Rightarrow V \leq \frac{2}{3}E - 1$$

# 🔚 代入欧拉公式

将上式代入公式 (*)：

$$\left(\frac{2}{3}E - 1 + 1\right) - E + n = 2 \\ \Rightarrow \frac{2}{3}E - E + n = 2 \\ \Rightarrow -\frac{1}{3}E = 2 - n \\ \Rightarrow E = 3n - 6$$

再代入 $V \leq \frac{2}{3}E - 1$ 得：

$$V \leq \frac{2}{3}(3n - 6) - 1 = 2n - 5$$

# ✅ 结论

• 边数 $E \leq 3n - 6$
• 顶点数 $V \leq 2n - 5$
• Voronoi 图总结构复杂度为 $O(n)$（线性）

# Voronoi Diagram 的计算方法详解

Voronoi 图的计算，目标是将一组平面点划分成最近邻区域。虽然定义简单，但构造算法非常讲究效率和几何处理的技巧。

# 一、常见算法概览

# 二、Incremental Algorithm（增量式）

# 思路：

1. 初始 Voronoi 图为空或为第一个点占据全平面。
2. 逐个插入点 $p_i$，在当前结构中找到属于 $p_i$ 的区域。
3. 更新 Voronoi 图：以 $p_i$ 为中心构造新的边和顶点，修剪旧区域。
4. 不断重复，直到所有点都插入完毕。

# 时间复杂度：

• 最坏：$O(n^2)$（因为一个点可能影响所有已有区域）
• 随机化插入顺序可达期望 $O(n \log n)$（Clarkson & Shor）

# 三、Sweep Line Algorithm（Fortune’s Algorithm）

# 思路：

1. 用一条从左往右的扫描线 “扫” 过整个点集。
2. 所有 “事件” 点按 $x$ 坐标排序，包括：
   • 点事件（添加新的 site）
   • 圆事件（删除某段边，形成 Voronoi 顶点）
3. 用 “海滩线”（beach line）维护当前状态：
   • 是一条由抛物线拼接而成的曲线
   • 每个点产生一段抛物线弧，表示其当前影响范围
4. 对每个事件更新结构，最终得到 Voronoi 图。

# 数据结构：

• 优先队列存事件点
• 平衡树维护海滩线结构

# 时间复杂度：

• 总事件数：$O(n)$
• 每次事件处理 $O(\log n)$
• 总体复杂度：$O(n \log n)$

# 四、Divide and Conquer（分治法）

# 思路：

1. 将点集按 $x$ 坐标排序，划分为左右两半。
2. 分别递归构造左、右半平面的 Voronoi 图。
3. 合并两个 Voronoi 图：
   • 找出分界线（也称合并链、merging chain）
   • 沿该分界线逐步连接两个子图
   • 删除被另一半覆盖的部分结构

# 合并技巧：

• 利用中垂线、最小外接圆、点的相对位置判断结构连接
• 分界线呈 y 单调性，方便构造

# 时间复杂度：

• 每次划分 $O(n)$，递归深度 $\log n$
• 合并线构造 $O(n)$
• 总体复杂度：$O(n \log n)$

# 五、Lifting Method（3D 提升法）

# 思路：

1. 将每个平面点 $p = (x, y)$ 映射到三维空间：
   • $\lambda(p) = (x, y, x^2 + y^2)$，映射到抛物面上
2. 构造这组点在三维空间中的 上凸包
3. 将上凸包投影回 $xy$ 平面，得到 Delaunay Triangulation
4. 再通过对偶关系构造 Voronoi 图

# 优势：

• 可用于高维空间问题
• 和 Delaunay Triangulation 紧密相关

# 时间复杂度：

• 和三维凸包一样：$O(n \log n)$

# 六、小结对比

# 七、拓展阅读

• Computational Geometry: Algorithms and Applications by de Berg et al.
• Fortune's original paper (1987): A Sweepline Algorithm for Voronoi Diagrams
• Clarkson & Shor (1989): Randomized Incremental Algorithms and Probabilistic Analysis

# Delaunay Triangulation 基础

# 🔺 一、Delaunay Triangulation 是什么？

# 📌 定义：

Delaunay 三角剖分是这样一种三角化方法：

对一组点进行三角剖分，使得任何一个三角形的外接圆中都不包含其它点。

这个条件叫做：

空圆性质（Empty Circle Property）

# 🎯 二、为什么要用 Delaunay？

Delaunay Triangulation 相比于任意三角剖分，有很多好处，尤其是：

# ✅ 角度最优化（Angle Optimality）

• 它 最大化最小角，也就是说：

  • 避免生成 “又细又瘦” 的长三角形（sliver triangle）

  • 更接近等边三角形，利于数值稳定性与网格质量

这在图形学、有限元分析、地形建模中非常重要。

# ⚖️ 三、Legal Triangulation 与 Delaunay 的等价

你图中写的这句非常关键：

合法三角剖分 ⇔ Delaunay triangulation

这个意思是：

• 如果一个三角剖分中所有的四边形都满足 “对角线合法”（对角线切换后使得外接圆更空）

• 那这个三角剖分就是 Delaunay 的

这个 “对角线切换” 叫 edge flipping，是很多 Delaunay 构造算法的核心操作。

# 四、定理

对任意一个点集 $P$ 的三角剖分，若点数为 $n$，凸包上的点数为 $k$，则：

• 三角形数 $= 2n - 2 - k$
• 边数 $= 3n - 3 - k$

# ✏️ 证明思路：

设三角剖分为 $T$，记：

• 顶点数：$V = n$
• 三角形数：$m$
• 面数：$F = m + 1$（$m$ 个三角形 + 外部面）
• 边数：E = \dfrac{3m + k}
  • $3m$ 表示所有三角形的边数（重复计算）
  • 外边（即凸包边）只算一次，共 $k$ 条
  • k 为顶点个数，我们知道顶点个数相当于一个多边形外部边的个数，而$3m$ 相当于 把所有内部三角形公用边算了两次加上所有的外部边一次，所以$3m+k$ 就相当于把内外部的边都算了两次
    带入欧拉公式（平面图）：

$$V - E + F = 2$$

即：

$$n - \dfrac{3m + k}{2} + (m + 1) = 2$$

整理得：

$$m = 2n - 2 - k$$

再带回边数公式：

$$E = \dfrac{3m + k}{2} = \dfrac{3(2n - 2 - k) + k}{2} = 3n - 3 - k$$

# 五、Angle Vector 与角度最优三角剖分

Goal: 生成一个三角剖分，使得其最小角最大化。

• 一个三角剖分若有 $m$ 个三角形，则一共有 $3m$ 个内角
• 将所有内角按升序排列，定义角度向量：

$$A(T) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_{3m})$$

• 若两个三角剖分 $T$ 与 $T'$ 的角度向量满足：

$$A(T) > A(T') \iff \exists i \text{ 使得 } \alpha_j = \alpha'_j \text{ for all } j < i, \text{ 且 } \alpha_i > \alpha'_i$$

则表示 $T$ 比 $T'$ 更优。

• 如果对所有三角剖分 $T'$ 都有 $A(T) \geq A(T')$，那么 $T$ 是一个角度最优三角剖分。

例子：

• $A(T) = (12, 14, 14, 15, 21, 22, \ldots)$
• $A(T') = (12, 14, 14, 15, 19, 22, \ldots)$
  则 $T > T'$，因为第 5 个角更大。

# 六、Legal edges

# 6.1 三角翻转

这一部分可以简单理解为一个四边形通过对角线分成两个三角形，可以进行旋转这个对角线以获得不同的三角形组合，并从中挑选最小角最大的组合。而如果一条边所构造的三角形的最小角小于翻转之后，那么这条边就是违法的。

而需要注意的是，这一部分并不是看翻转后的每一个三角形的最小角，而是看翻转后两个三角形六个角中最小的一个。

而关于非法与合法的对角线还有以下两个结论

# ✅ 结论 1：

如果四个点 p_i、p_j、p_k、p_l 构成一个凸四边形，
并且它们不共圆，
那么在两条对角线（p_i p_j 和 p_k p_l）中，必有一条是非法边。

换句话说：

• 对于这种四边形结构，它们的两种三角剖分方式（flip 前后的两种）不可能都是合法的

• 要么 p_i p_j 是非法边，要么 p_k p_l 是非法边，不会同时合法

这其实说明了：总有一种划分方式会让角度更大，更优

# ✅ 结论 2（重点）：

如果四边形用对角线 p_i p_j 来三角剖分，
那么这条边 是非法的 ⇔ 点 p_l 落在三角形 p_i p_j p_k 的外接圆内

这个判据非常重要，叫做：

# 🎯 空圆判据（Delaunay condition）

一个三角形的三点构成的外接圆中，如果第四个点在圆内，那当前边就是非法边！

也可以反过来说：

只有当所有三角形的外接圆都不包含其它点时，三角剖分才是 Delaunay 的

# Voronoi 与 Delaunay Triangulation

# Voronoi 与 Delaunay Triangulation 的一些关系

# 1. Voronoi 顶点 与 最大空圆的关系

一个点 $q$ 是 Voronoi 图 Vor ($P$) 的顶点，当且仅当：

• 存在一个最大空圆，其圆心为 $q$

• 这个圆的边界上恰好有 3 个输入点（$p_i$, $p_j$, $p_k$）

• 且圆内部没有包含任何其他点

因此，Voronoi 顶点实际上就是这三个点外接圆的圆心。 这也是 Voronoi 和 Delaunay 的一个对偶：

• Voronoi 顶点 ⇔ Delaunay 三角形的外心

# 2. Delaunay 三角形 ⇔ 外接圆为空

三点 $p_i$, $p_j$, $p_k$ 构成一个 Delaunay 三角形，当且仅当：

• 它们的外接圆中不包含其他点（即空圆）

这个性质被称为：

空圆判据（Empty Circle Criterion）

也就是说，一个三角形如果能成为 Delaunay 三角形，它的圆中除了这三点不能有其他点。

# 3. Delaunay 边 ⇔ Voronoi cell 相邻

边 $(p_i, p_j)$ 是 Delaunay 图中的一条边，当且仅当：

# 方式一：通过 Voronoi 二分线

• 存在一个 Voronoi 图中的点 $q$，在 $p_i$ 和 $p_j$ 的二分线上

• 并且这个点到其他所有点的距离都更远（即最大空圆只接触这两点）

• 那么 cell ($p_i$) 与 cell ($p_j$) 相邻，说明这两个点之间有 Delaunay 边

# 方式二：通过空圆盘判据

• 存在一个圆（disk），其边界上有 $p_i$ 和 $p_j$

• 且这个圆内部不包含任何其它点

• 那么 $(p_i, p_j)$ 是一条合法的 Delaunay 边

# 图像理解补充：

• 图 1 显示了 Voronoi 顶点作为三个 Voronoi cell 的交点，对应 Delaunay 外心

• 图 2 强调了三角形外接圆中不能有额外点的 Delaunay 三角形

• 图 3 展示了连接两个点的 Delaunay 边，其对应的 Voronoi edge 和空圆验证条件

这些性质是理解 Delaunay 与 Voronoi 之间几何对偶的关键基础。

# 定理：Delaunay Triangulation 一定是平面图（Planar）

# 目标：

证明 Delaunay 图 Del (P) 中的边不会相交

# ✳️ 证明方法：反证法（Proof by contradiction）

# 假设：存在两条 Delaunay 边相交

设两条相交的边为：

• $(p_i, p_j)$
• $(p_k, p_l)$

# 步骤 1：构造以 $(p_i, p_j)$ 为边界的空圆

• 存在空圆 $C_{ij}$，$p_i$ 和 $p_j$ 在圆上
• 设圆心为 $r_{ij}$，构造三角形 $t_{ij} = \triangle(r_{ij}, p_i, p_j)$

根据 Voronoi 性质：

• $\overline{r_{ij}p_i}$ 在 Vor ($p_i$) 中
• $\overline{r_{ij}p_j}$ 在 Vor ($p_j$) 中

结论：$(p_k, p_l)$ 必须在 $C_{ij}$ 外部，否则违反空圆判据

# 步骤 2：构造以 $(p_k, p_l)$ 为边界的空圆

• 存在空圆 $C_{kl}$，$p_k$ 和 $p_l$ 在圆上，设圆心为 r_
• 构造三角形 $t_{kl} = \triangle(r_{kl}, p_k, p_l)$

考虑两种情况：

# 🔹 Case 1：$\overline{r_{kl}p_k}$ 和 $\overline{r_{kl}p_l}$ 不与 $t_{ij}$ 相交

• 此时三角形 $t_{kl}$ 与 $t_{ij}$ 没有交集
• 由于 $(p_i, p_j)$ 与 $(p_k, p_l)$ 是相交的 ⇒ $p_i$ 或 $p_j$ 必定落在 $C_{kl}$ 内部
• 矛盾：$C_{kl}$ 是空圆，不能包含其他点

🟥 矛盾！

# 🔹 Case 2：$\overline{r_{kl}p_k}$ 或 $\overline{r_{kl}p_l}$ 与 $t_{ij}$ 相交

• 比如 $\overline{r_{kl}p_k}$ 穿过 t_
• 那么 $\overline{r_{kl}p_k}$ 落入 Vor ($p_j$)，$\overline{r_{ij}p_j}$ 也在 Vor ($p_j$)
• 说明 Vor ($p_j$) 被两个非相邻边交叉穿过
• 与 Voronoi 图结构矛盾（边不能交叉）

🟥 矛盾！

# ✅ 最终结论：

无论哪种情况，假设边交叉都会导致矛盾

所以 Delaunay Triangulation 中边不能交叉 ⇒ 一定是平面图（planar）