# 1. 点线对偶（Point-Line Duality）

点线对偶是计算几何中的一种基本变换思想，它允许我们在平面上将点与线互相转换，并在保持几何关系的前提下，从不同的角度简化问题。

# 1.1 什么是点线对偶

点线对偶（也称为几何对偶）是一种函数或映射，将平面中的一个几何对象（如点）转换为另一种对象（如直线），并且可以保持或反映其之间的几何关系，如：

• 点与直线的交关系；
• 点在线的上下方位置关系；
• 共线性、共点性等结构性质。

这种变换是一一对应的，即每个点对应唯一的一条线，反之亦然（在限定条件下）。

# 1.2 为什么使用对偶变换（动机）

某些几何问题在原始空间（点线混合）中非常复杂，比如：

• 如何快速找到若干线中的上包络？
• 如何判断所有点是否共线或落在同一结构上？
• 如何快速判断某些位置的几何性质？

在对偶空间中，许多这些问题变得更规整或对称，使得它们更容易分析或应用现有算法（如凸包、排序、扫描线等）。

举个类比：就像代数中将方程移项变形可以更容易求解一样，对偶变换也是一种 “几何变形”，让问题结构更简洁。

# 1.3 什么是原始空间与对偶空间

• 原始空间（Primal Plane）：原始问题所在的平面，点表示点，线表示线。
• 对偶空间（Dual Plane）：通过变换后得到的新空间，点变为线，线变为点。

二者使用不同的坐标系（如 $Oxy$ 和 $Uab$），但在数学结构上是对称的，可以互相转化。

# 1.4 对偶变换是双向的

一个合法的对偶变换应该满足：

• 可逆性（Invertibility）：从点 $\rightarrow$ 线，再 $\rightarrow$ 点，得到原始点。
• 保结构性：对偶后仍能表示出原始空间中的基本几何结构（例如交点变为共点，线段交替变为区域重合等）。

这类变换在计算几何中非常常见，尤其是在设计和分析 ** 对偶算法（dual algorithms）** 时扮演关键角色。

# 1.5 小结

点线对偶提供了一种强有力的视角，让我们可以：

• 在几何问题中切换 “点” 与 “线” 的身份；
• 利用对偶空间中的规律性来化简分析；
• 将某些复杂的交、排序、覆盖、包含问题转化为标准的几何运算，如凸包、排序等。

下一步，我们将从形式上定义这种对偶变换，并了解它是如何实际作用的。

# 2. 对偶变换的定义

# 2.1 点变换为线（Point → Line）

我们可以把平面上的每一个点 $p = (p_x, p_y)$，转换为一条直线：

$$p^* : y = p_x \cdot x - p_y$$

这条线就是点 $p$ 的 “对偶线”。

举例：

• 点 $(2, 1)$ 的对偶线是 $y = 2x - 1$
• 点 $(0.5, 0)$ 的对偶线是 $y = 0.5x$

这意味着我们能用点的坐标直接构造出一条对应的直线。

# 2.2 线变换为点（Line → Point）

反过来，如果我们有一条不是垂直的直线（即斜率存在）：

$$l : y = a \cdot x - b$$

那么它的 “对偶点” 就是：

$$l^* = (a, b)$$

也就是说：直线的斜率变成点的横坐标，直线在 $y$ 轴的截距的相反数变成纵坐标。

举例：

• 直线 $y = 3x - 2$ 的对偶点是 $(3, 2)$
• 直线 $y = -x + 1$ 的对偶点是 $(-1, -1)$

# 2.3 注意事项

• 只有非垂直直线才能进行这样的变换（因为垂直线没有定义斜率）。
• 对偶是一个可逆的过程，也就是说：
  • 点 $\rightarrow$ 线 $\rightarrow$ 点，得到的是原来的点；
  • 线 $\rightarrow$ 点 $\rightarrow$ 线，得到的是原来的线（详见下一节 “对偶的性质”）。

# 2.4 对偶变换的意义

通过这种变换，我们可以把一些 “点集的问题” 转换为 “线集的问题”，或者反过来，有助于：

• 简化分析；
• 更好地利用图形结构；
• 应用不同算法技巧来提高效率。

# 3. 对偶的性质

对偶变换不仅可以互换点与线，还保留了几何上的一些关键结构和关系。以下是三大核心性质：

# 3.1 自反性（Self-inverse）

定义：对偶变换是 “自反” 的，也就是说对偶两次会回到原始对象。

• 对于点 $p$：

  • 将点 $p = (p_x, p_y)$ 转换为线 $p^*: y = p_x x - p_y$
  • 再将这条线转换回来，得到的仍然是点 $p$

• 对于线 $l$：

  • 将线 $l: y = a x - b$ 转换为点 $l^* = (a, b)$
  • 再将这个点转换回线，得到的仍然是 $l$

数学表达：

• $(p^*)^* = p$
• $(l^*)^* = l$

# 3.2 保持关联性（Incidence Preserving）

定义：点在线上 ⇔ 对偶线穿过对偶点。

具体说明：

• 如果一个点 $p = (p_x, p_y)$ 落在一条线 $l: y = a x - b$ 上，那么：

  • 在对偶空间中，线 $p^*: y = p_x x - p_y$ 会经过点 $l^* = (a, b)$。

• 反过来也成立，如果 $l^*$ 落在 $p^*$ 上，则 $p$ 落在 $l$ 上。

换句话说：点与线之间的 “在不在线上” 关系，在对偶变换中完全保留。

# 3.3 顺序反转性（Order Reversing）

定义：点在线的 “上方” 或 “下方” 的关系在对偶空间中会发生翻转。

• 如果点 $p$ 在直线 $l: y = a x - b$ 的下方（即 $p_y < a p_x - b$），
  那么它的对偶点 $p^*$ 会在对偶直线 $l^* = (a, b)$ 的上方。

用对偶表示：

• 在原空间：$p_y < a p_x - b$
• 在对偶空间：$b > p_x \cdot a - p_y$，即 $l^*$ 在 $p^*$ 的下方

这意味着：上下关系在对偶变换中是反过来的。

这些性质是理解和使用点线对偶的核心工具，使我们可以在原空间和对偶空间中自由转换几何问题而不失信息。

# 4. 应用示例

点线对偶不仅是一个理论工具，也有很多实际应用。通过将点变为线、线变为点，我们可以把一些难题转化为更容易解决的问题。

# 4.1 上包络（Upper Envelope）

# 问题：

给定一组直线，找出从上方看的 “最外层” 折线 —— 即每个 $x$ 坐标下方，$y$ 最大的线段。

# 思路：

在对偶空间中，上包络对应于一组点的下凸壳（Lower Convex Hull）。

# 方法：

1. 将所有线转换为对偶点；
2. 计算这些点的下凸壳；
3. 将下凸壳上的点转换回线；
4. 得到原空间中的上包络。

# 结果：

时间复杂度可降低为 $O(n \log n)$（如果只求上包络）。

# 4.2 线的排列（Arrangement of Lines）

# 问题：

给定一组 $n$ 条线，构造所有线的交点、分割区域等组成的结构。

# 结果：

• 所有交点最多 $O(n^2)$ 个；
• 整体排列（区域、边界、交点）构造时间为 $O(n^2)$；
• 用于支持后续查询和几何运算。

# 关键：

对偶空间中，每条线变为点，可以使用点集的结构（如凸包、图结构）进行分析。

# 4.2.1 Zone Theorem

这一块需要用到 Zone Theorem，即实际上的构造时间是由 n 个线和区域复杂度的乘积才会有$O(n^2)$
而区域复杂度为 n 的证明如下

1. 基础情况（Base Case）

• 假设目前只有一条线，记作 m=1。

• 插入第一条线后，zone 就是它自己穿过的区域（一般是两个半平面或者两个大 cell）。

• 显然这些区域的数量是常数，所以 zone 的复杂度是常数 ⇒ 成立。

2. 归纳假设（Induction Hypothesis）

• 假设对于 m−1 条线构成的排列，** 任何一条线的 zone 复杂度最多是 6 (m−1)

• 我们要在这个假设基础上证明：加入第 m 条线后，zone 的复杂度最多增加常数级别。

这个 6 (m-1) 是因为新的线每穿过一个 cell 和离开一个 cell 时，最多会新产生 3 条线，即复杂度最多为 3 (m-1)+3 (m-1)

3. 归纳步骤（Inductive Step）

我们现在加入第 m 条线，记作 l1​。它将穿过先前已有的 m−1 条线构成的排列 Am−1​。

分析它的 zone（红色阴影区域）：

# 它穿过哪些 cell？

• 每当它与一条已有的线相交，就有可能穿过一个新的 cell。

# 为什么复杂度只增加常数？

对于 zone 的边数（复杂度）而言，新增复杂度来自两种情况：

1. 增加新的边：

   • 当它与排列中已有线相交，会在某些 cell 中形成新的边。

2. 已有的边被分成两段：

   • 一条已有的边如果被这条线穿过了，就可能分裂为两个边段。

✳️ 但无论如何，每穿过一条线，最多引入常数条新边（左右分割 + 上下边界），这是几何结构上的性质。

👉 所以，总增加量与交点数成正比，而交点数最多是 m−1。

# 4.3 最小面积三角形（Minimum Area Triangle）

# 问题：

给定 $n$ 个点，找出由这 $n$ 个点组成的面积最小的三角形。

# 思路：

• 固定两个点 $a, b$，找使三角形面积最小的第三个点 $c$。
• 构造过 $a, b$ 的平行线，找到最靠近的第三点 $c$。

# 在对偶空间中：

• 线 $ab$ 对应点 $(a^*, b^*)$；
• 第三点对应一条不穿过已有线的线；
• 最小面积 ⇔ 垂直距离最小。

# 结果：

时间复杂度可降至 $O(n^2 \log n)$，有进一步优化空间。

# 4.4 空间投票理论与多数点问题（Spatial Voting & Plurality Point）

# 背景：

• 每个选民用一个二维点表示观点；
• 候选人选一个点表示立场；
• 选民选距离最近的候选人。

# 多数点（Plurality Point）：

是否存在一个点，使得无论第二个候选人在哪里，第一个候选人都能赢得一半以上选票？

# 结论：

该问题可转化为对偶空间中 “所有中位线是否交于一点” 的问题。

# 复杂度：

• 利用对偶线构造中位线；
• 算法时间复杂度为 $O(n \log n)$（二维平面）。

这些应用展示了点线对偶的强大之处 —— 它把复杂的点集问题转化为线性结构的问题，借助凸包、排列、扫描等技术有效求解。

# 5. 总结

点线对偶（Point-Line Duality）是一种在计算几何中非常有用的工具，它通过在平面中互换 “点” 和 “线”，揭示了几何对象之间深层次的结构对应关系。

# 5.1 核心内容回顾

• 对偶变换定义：

  • 点 $p = (p_x, p_y) \rightarrow p^*: y = p_x x - p_y$
  • 线 $l: y = a x - b \rightarrow l^* = (a, b)$

• 三大基本性质：

  1. 自反性：$(p^*)^* = p$，$(l^*)^* = l$
  2. 关联保持：$p \in l \iff l^* \in p^*$
  3. 顺序反转：$p$ 在 $l$ 下方 $\iff$ $p^*$ 在 $l^*$ 上方

# 5.2 应用场景

通过对偶变换，许多经典几何问题可以转化为更容易解决的形式：

• 凸包问题 ⇔ 上包络问题
• 半平面交问题 ⇔ 线性排序问题
• 最小面积三角形问题
• 空间投票与多数点问题

# 5.3 算法复杂度亮点

• 线的排列构造：$O(n^2)$
• 上包络计算：$O(n \log n)$
• 最小面积三角形：$O(n^2 \log n)$
• 多数点判定：$O(n \log n)$（二维）

# 5.4 学习建议

• 熟悉点线对偶的变换公式；
• 掌握三大基本性质的推理过程；
• 练习在对偶空间中 “看问题” 的角度；
• 熟练掌握常见应用中的对偶转换逻辑。

通过本节内容的学习，掌握对偶变换不仅能帮助我们更高效地解决复杂的几何问题，还为深入理解计算几何中的结构关系打下坚实基础。