lec10 几何逼近算法 (Geometric approximation algorithms)

# 1. 为什么需要逼近算法？

# 1.1 计算难度：NP-Hard

• 很多现实中的优化问题都是 NP-hard，即没有已知的多项式时间算法。
• 例如：Euclidean TSP（旅行商问题）、Quadratic Assignment（二次指派问题）等。
• 这些问题只能在小规模实例上通过精确算法解决。

# 1.2 运算成本高

• 即使问题不是 NP-hard，在高维空间或大规模数据下，精确算法也往往太慢。
• 举例：
  • 2D 最小生成树：$O(n \log n)$
  • 高维 $k$D 最小生成树：$O(n^2)$
  • 使用逼近算法可将其降至 $O(n \log n)$

# 2. 示例：欧几里得旅行商问题（Euclidean TSP）

# 2.1 问题描述

• 输入：一组点，目标是构造一条闭合路径经过每个点一次，总长度最小。
• 此问题已被证明为 NP-hard [Papadimitrou’77]

# 2.2 常见逼近方法

# 2.3 实际求解进展

• 2006 年：成功解出含 85,900 城市的 TSP，耗费 136 年 CPU 时间
• 2013 年：近似解出全球 1,904,711 城市的路径，误差约为 1.0474 倍

# 3. 示例：$k$ - 中心聚类（k-Center Clustering）

# 3.1 问题定义（更通俗地解释）

我们有一堆点（比如城市、传感器、顾客的位置），现在要从中选出 $k$ 个点当作 “中心”，并把所有点都分配给离它最近的那个中心。

目标是让最远的那个点，也就是 “离它最近中心最远的点”，距离尽可能短。

换句话说：

找 $k$ 个代表点，使得所有点都离它们最近的中心不会太远，最大距离最小。

📌 举个例子：

假设你要在城市中设 $k$ 个仓库，客户从最近的仓库取货。

你希望的是：

• 所有客户离最近的仓库都不太远。
• 特别是：最远的那个客户也不能太远。

这就是典型的 $k$ - 中心问题。

🔍 数学上定义为：

• 给定点集 $P$ 和整数 $k$；
• 选出点集 $C \subseteq P$，$|C| = k$；
• 最小化 $\max_{p \in P} \min_{c \in C} |p - c|$

即：最大距离最小。

# 3.2 问题难度与逼近性

# 📌 为什么这个问题很难？

这个问题是经典的 NP-hard 问题，意思是：

没有已知的多项式时间算法可以总是找到最优解，尤其当点数 $n$ 很大时，就算有高性能电脑也搞不定。

具体地：

• 早在 1979 年，Kariv 和 Hakimi 就证明了这个问题是 NP-hard。
• 后来还有人证明了：
  • 除非 P = NP，不可能设计出比 2 倍更好的逼近算法。
  • 也就是说，想做到 1.99 倍最优解都不可能（Hsu 和 Nemhauser, 1979）。

# ✅ 所以我们能做什么？

我们退而求其次，追求一个 “不错” 的结果，比如：

• 距离最优解不超过两倍；
• 算法很快，不需要爆炸时间。

幸运的是：

Gonzalez（1985）提出了一个简单又优雅的 2 - 逼近算法，叫做 Farthest-First Traversal。

# 3.3 Farthest-First Traversal 算法（最远优先遍历）

# 🌟 核心思想：

这是一种非常直观的 “贪心” 策略：

每一步都挑 “最不满意的点” 作为新的中心。

换句话说，我们从一个点开始，然后每次挑那个离当前所有中心最远的点，直到选够 $k$ 个中心为止。

# 🧩 算法步骤：

1. 随便选一个点，设为第一个中心 $c_1$。
2. 从剩下的点里找出一个：
   • 它到当前所有中心中最近的那个距离最大；
   • 把它作为下一个中心 $c_2$。
3. 重复上一步，直到选了 $k$ 个中心。

# 🧠 举个例子：

假设我们要选 3 个学校建在城市里：

• 第一个学校随便选；
• 第二个建在 “离第一个学校最远的居民区”；
• 第三个建在 “离前两个学校最远的居民区”。

最终，选择的学校能很好地覆盖全城。

# ⏱️ 时间复杂度：

• 每次找 “最远点” 要看所有点：$O(n)$；
• 做 $k$ 次，总共是 $O(kn)$。

比穷举所有组合的 $O(n^k)$ 好太多！

# 3.4 正确性分析：为什么这是一个 2 - 逼近算法？

我们要说明：

无论输入点怎么分布，Farthest-First 算法得到的最大半径 $\leq 2 \times$ 最优半径。

# ✅ 证明思路：

设：

• 最优中心集合为 $C^* = \{c_1^*, c_2^*, ..., c_k^*\}$，最小半径为 $r^*$；
• 我们算法选出的中心集合为 $C = \{c_1, c_2, ..., c_k\}$，最大半径为 $r$；
• 目标是证明：$r \leq 2r^*$。

# 🧩 核心观察：

1. 最优解把所有点分成 $k$ 个 “圆形区域”，半径不超过 $r^*$；
2. 这些区域里，每个区域至少要包含一个我们选的中心，否则我们就漏选了一个重要的 “远点”。

# ✏️ 更具体的想法：

• 如果某个最优簇 $C_i^*$ 没有任何我们选的中心落进去，
  • 那么在我们选中心的时候，两个中心可能落在同一个簇里；
  • 根据最远优先策略，这两个中心间距离一定大于 $r^*$；
  • 这说明它们太远了，不应该在同一个最优簇里 ⇒ 矛盾！

# ✅ 推论：

因此，我们的 $k$ 个贪心中心最多比最优半径大两倍：

$$\text{Radius}(C) \leq 2 \cdot \text{Radius}(C^*)$$

# 📌 总结：

• 算法简单、运行快（$O(kn)$）；
• 有理论保证：不比最优解差超过两倍；
• 在实际应用中效果也不错。

# 4. Well-Separated Pair Decomposition（WSPD）

# 4.1 什么是 WSPD？（直观理解）

WSPD 是一个用来处理 “所有点对之间关系” 的聪明方法。

如果你有 $n$ 个点，要比较所有的点对，总共有 $n(n-1)/2$ 对，太多了！

WSPD 把这些点对 “分组”，变成少量的、有代表性的点对集合，叫做 “well-separated pairs”。

# 🧠 举个例子：

假设你有一堆人住在城市中不同地方，你不需要比较每一对人的距离。你可以把他们分成 “住得差不多的一堆堆”，然后只比较 “这些堆之间” 的距离。

WSPD 就是这个思想的几何实现。

# 4.2 正式定义（简化版）

给定点集 $P$ 和分离常数 $s > 0$，WSPD 是一组点对集合：

$$\{(A_1, B_1), (A_2, B_2), ..., (A_m, B_m)\}$$

满足：

• 每个 $(A_i, B_i)$ 是 $P$ 的两个子集；
• $A_i$ 和 $B_i$ 之间 “距离足够远” ⇒ 称为 well-separated；
• 对于任意一对点 $(p, q) \in P$，存在唯一一个 $(A_i, B_i)$，使得 $p \in A_i$ 且 $q \in B_i$（或反过来）。

# 4.3 什么叫 “well-separated”？

设 $A$ 和 $B$ 是两个点集：

• 包住 $A$ 和 $B$ 的球半径为 $r$；
• 两个球之间的最近距离 $\geq s \cdot r$，即远远分开。

这就叫 “well-separated”（分得开、看得清）。

# 4.4 WSPD 的关键好处

• 可以将 $O(n^2)$ 个点对压缩为 $O(sn)$ 个 well-separated pairs；
• 可以用在最近点对、直径、图构建等很多问题中；
• 构造时间 $O(n \log n + sn)$，非常高效！

# 5. WSPD 应用实例：最近点对（Closest Pair）

# 5.1 问题描述

给定一组 $n$ 个点，找出其中距离最近的一对点 $(p, q)$。

这是计算几何中的经典问题之一，常规算法时间复杂度为 $O(n \log n)$。

# 5.2 用 WSPD 来解决这个问题

# 步骤如下：

1. 构建 WSPD：

   • 对点集 $P$ 构造一个以 $s = 4$ 为分离常数的 WSPD，得到一组 $(A_i, B_i)$。

2. 遍历所有 pair：

   • 对每个 $(A_i, B_i)$，如果 $A_i$ 和 $B_i$ 都是单个点（即大小为 1），就比较它们的距离。

3. 记录最小距离：

   • 保留目前为止遇到的最近点对。

4. 返回最终最近点对

# 5.3 正确性解释

可能你会想：

“万一最近点对 $(p, q)$ 落在一个不是单点对的 $(A_i, B_i)$ 里面怎么办？”

WSPD 的构造方式确保不会发生这种情况！

• 假设 $(p, q)$ 是最近点对；
• 如果它们出现在某个不全是单点的 pair 中，那这个 pair 的点之间距离应当比 $(p, q)$ 更大（因为是 well-separated）；
• 这就矛盾了 ⇒ 所以最近点对一定会出现在某个 “单点对” 中。

# 5.4 时间复杂度

• 构造 WSPD：$O(n \log n)$
• 遍历 $O(n)$ 个单点 pair ⇒ 总体 $O(n \log n)$

# ✅ 总结

通过 WSPD，我们避免了检查所有 $n(n-1)/2$ 个点对，依然能高效正确地找出最近点对。

# 6. WSPD 应用实例：近似直径（Diameter Approximation）

# 6.1 问题描述

给定一个点集 $P$，我们想知道：

哪两个点之间的距离最远？ —— 也就是整个点集的 “直径”。

# 6.2 精确算法 vs. 逼近算法

• 精确做法：枚举所有点对，时间复杂度 $O(n^2)$。
• 对于大规模数据，这太慢了。

所以我们采用 WSPD 来快速计算一个近似值，误差控制在 $(1 - \varepsilon)$ 范围内。

# 6.3 算法步骤

给定误差 $\varepsilon > 0$，我们这样做：

1. 设分离常数为 $s = \frac{4(1 - \varepsilon)}{\varepsilon}$；
2. 构建 WSPD，得到一组 $(A_i, B_i)$；
3. 遍历每个 pair：
   • 对每个 $(A_i, B_i)$，任意取 $p \in A_i$，$q \in B_i$；
   • 计算 $|pq|$，记录最大值；
4. 返回最大距离作为近似直径

# 6.4 正确性保证

假设真正的直径是 $D = |pq|$：

• WSPD 会包含一个 pair $(A_i, B_i)$ 把 $p$ 和 $q$ 分到两侧；

• 对应任意取的 $p', q'$ 满足：

  $$|p'q'| \geq (1 - \varepsilon) \cdot D$$

所以我们不会错过重要的 pair，得到的最大距离不会小太多。

# 6.5 时间复杂度

• 构造 WSPD：$O(n \log n + \frac{n}{\varepsilon^d})$
• 遍历 pair：也是 $O(\frac{n}{\varepsilon^d})$

总时间：$O(\frac{n}{\varepsilon^d} + n \log n)$

# ✅ 总结

使用 WSPD，可以在线性或亚线性时间内，快速逼近点集直径，误差可控，非常适合处理大规模几何数据。

# 7. WSPD 应用实例：几何图构建与 t-Spanner 网络

# 7.1 背景介绍：什么是几何图？

• 给定一个点集 $P$（例如地图上的站点），我们想连接一些边，使得：
  • 每两个点之间通过图中的路径都 “不是太远”；
  • 但又不希望连接所有点对（太多边）；

# 7.2 t-Spanner 的定义

一个图 $G = (P, E)$ 是一个 $t$-spanner，如果对所有点对 $(u, v)$，图中最短路径满足：

$$d_G(u, v) \leq t \cdot |uv|$$

也就是说，图中的路径不会比欧几里得直线距离长超过 $t$ 倍。

• $t$ 越小，图越 “紧凑”；
• $t = 1$ 时是最理想（但通常要全连边）；
• 实际应用中，$t$ 取 $1.1$～$2$ 比较常见。

# 7.3 如何用 WSPD 构建 t-Spanner？

# 算法步骤：

1. 给定点集 $P$ 和一个 $t > 1$；
2. 设置分离常数 $s = \frac{4(t + 1)}{t - 1}$；
3. 构造 WSPD，得到一组 $(A_i, B_i)$；
4. 对每个 $(A_i, B_i)$，从 $A_i$ 和 $B_i$ 中各选一个点 $p, q$，添加边 $(p, q)$ 到图中；
5. 最终图 $G = (P, E)$ 就是一个 $t$-spanner。

# 7.4 正确性简要说明

• 对每一对点 $(u, v)$，它们一定会出现在某个 WSP 中；

• 利用三角不等式和 WSPD 的几何性质，可以证明：

  $$d_G(u, v) \leq t \cdot |uv|$$

即：所有路径的长度不会超过 $t$ 倍。

# 7.5 特点与复杂度

• 构建时间：$O(n \log n + \frac{n}{(t - 1)^2})$
• 边数：$O(\frac{n}{(t - 1)^2})$
• 总边长：$O(\log n) \cdot \text{MST 权重}$（有界）
• 可以进一步 “裁剪” 为 $O(n)$ 条边的 $(1 + \varepsilon)t$-spanner

# ✅ 总结

WSPD 提供了一种优雅高效的方法，用于构造稀疏但 “距离保真度” 高的几何网络，适用于地图、无线网络、机器人路径规划等场景。

# 8. 近似最小生成树（MST Approximation）

# 8.1 问题背景

• 给定点集 $P$，我们希望构建一棵最小生成树（MST）；
• 目标是最小化连接所有点的总边长；
• 欧几里得空间中，精确算法时间复杂度通常是 $O(n \log n)$（2D），甚至 $O(n^2)$（高维）；
• 我们希望在更快时间内构造一个近似的 MST。

# 8.2 主要想法

利用已经构造好的 $t$-spanner 图作为 “候选图”，然后在上面运行 Kruskal 或 Prim 算法。

因为：

• $t$-spanner 中包含的边是经过筛选的、有代表性的；
• 虽然不含所有边，但仍然可以连接所有点，并且总边长不会太糟。

# 8.3 算法步骤

1. 给定点集 $P$ 和误差参数 $t > 1$；
2. 构造一个 $t$-spanner 图 $G = (P, E)$（用 WSPD）；
3. 在 $G$ 上运行标准的 Kruskal 算法或 Prim 算法，得到最小生成树 $T$；
4. 返回 $T$ 作为近似最小生成树。

# 8.4 正确性与误差控制

设最优 MST 的边长为 $w^*$，那么近似生成树 $T$ 满足：

$$w(T) \leq t \cdot w^*$$

• 因为所有原始边的 “路径替代” 不会长于 $t$ 倍；
• Kruskal 在子图中取最短边，也保证不超过原图中最短路径。

# 8.5 复杂度分析

• 构造 $t$-spanner：$O(n \log n + \frac{n}{(t - 1)^d})$
• Kruskal 算法：$O(E \log n)$，$E = O(n / (t - 1)^2)$
• 总体时间：$O(n \log n + \frac{n}{(t - 1)^d})$

相比精确算法，在高维空间或大规模数据上快得多。

# ✅ 总结

利用 t-spanner 作为 “稀疏近似图”，可以在更低时间复杂度下构造接近最优的 MST，非常适合需要快速近似的应用场景。

# 9. 历史发展与开放问题

# 9.1 WSPD 与几何逼近算法的历史地位

WSPD（Well-Separated Pair Decomposition）由 Callahan 和 Kosaraju 在 1995 年提出。

它成为了几何算法中的一个核心工具，广泛应用于：

• 距离计算（最近点对、直径）；
• 图构建（t-spanner、近似 MST）；
• 高维数据处理；
• 空间数据压缩与索引。

WSPD 的优点：

• 构造快（$O(n \log n + sn)$）；
• 空间小（$O(sn)$）；
• 可用于控制误差，支持 $(1 \pm \varepsilon)$ 近似。

# 9.2 更进一步的结构：SSPD

• SSPD（Semi-Separated Pair Decomposition）是对 WSPD 的改进；
• 它在某些应用中可以进一步减少空间使用和加速查询；
• 不过实现复杂度更高，应用相对较少。

# 9.3 仍未解决的开放问题

# ❓ 欧几里得最小生成树（EMST）

是否存在一个 $O(n)$ 空间、$O(n \log n)$ 时间的算法来求解任意维度的 EMST？

• 目前 2D 情况是 $O(n \log n)$，但高维仍困难；
• 近似算法（基于 spanner）是一个可行方向；
• 高维几何数据结构仍是研究热点。

# ❓ 更快的 $(1 + \varepsilon)$- 近似 TSP？

• 虽然 Arora 和 Mitchell 已提出 $n \log^{O(1/\varepsilon)} n$ 时间算法；
• 是否存在 线性时间的 $(1+\varepsilon)$- 近似 TSP 算法？（极具挑战性）

# ✅ 总结与展望

• 本节介绍了几种常见几何优化问题的逼近算法；
• 利用了一个强大工具 —— WSPD；
• 在时间、空间和精度三者之间取得了平衡；
• 同时也展示了计算几何领域中开放而重要的研究方向。