lec11 Similarity and Simplification

# 🎯 1. 背景与目标

# 📌 应用场景

轨迹数据广泛存在于以下应用中：

• GPS 路径（车辆、手机用户行驶轨迹）
• 雷达 / 卫星跟踪（如台风移动路径）
• 动物迁徙轨迹（如候鸟、鲸鱼）
• 运动轨迹数据（如跑步者、球员移动）

这些轨迹数据常常由很多点组成，呈折线状。

# 🧠 分析目标：

从这些轨迹中提取有意义的行为模式，例如：

• 找出聚集区域（多个个体集中活动）；
• 分析路径形状（如迁徙路线）；
• 进行预测分析（如风暴路径预测）。

# ❓ 要解决的两个核心问题

1. 相似性问题：

   • 给定两条轨迹，如何判断它们的相似程度？
   • 哪些方法能更准确刻画 “形状是否接近”？

2. 压缩问题（简化问题）：

   • 给定一条很长的轨迹，如何用更少的点表示它？
   • 如何在保留形状的同时减少点数，加快处理速度？

# 📏 2. 曲线相似性度量方法

在轨迹分析中，我们需要定义 “相似性” 来比较两条曲线是否形状接近。下面是几种主流方法：

# 🧩 2.1 一般方法

这些方法大多源自信号处理或字符串比较，适用于等长或对齐轨迹。

• 向量化方法：

  • 将曲线转为高维向量比较；
  • 但要求点数相同、对齐，不适用于实际轨迹。

• 常见度量方式：

  1. Hausdorff 距离：比较最大最小点对距离，忽略匹配顺序；
  2. DTW（Dynamic Time Warping）：允许 “拉伸时间” 对齐点序；
  3. LCSS（Longest Common Subsequence）：基于离散子序列匹配，容忍缺失点。

# 🐕 2.2 Fréchet Distance（牵狗人模型）

更几何、连续、顺序敏感的度量方式。

# ✅ 直观解释：

• 人牵着狗，分别沿着两条曲线行走；
• 两人都不能后退，牵引绳最短长度就是 Fréchet 距离；
• 强调连续性与 “全局匹配”，能捕捉曲线整体形状的相似性。

# ✅ 特点：

• 比 Hausdorff 更强，因为它考虑了曲线 “行进过程” 的顺序；
• 离散版本只在顶点上比较，误差大；
• 通常用 ** 自由空间图（Free Space Diagram）** 来判断 $\delta(P, Q) \le r$ 是否成立。

# 📐 3. Fréchet 距离计算算法

我们关心的问题是：如何计算两条曲线的 Fréchet 距离？也就是牵狗人模型中 “最短牵引绳长度”。

# 🔎 3.1 决策算法（是否 ≤ 某个阈值 r）

这是 Fréchet 计算中的基础问题：

给定两条曲线 $P$ 和 $Q$ 以及一个数 $r$，判断它们的 Fréchet 距离是否 $\le r$？

# ✅ 解决方法：使用 “自由空间图（Free Space Diagram）”

• 构建一个二维网格，每个单元格表示 $P$ 的一条边和 $Q$ 的一条边的交互；
• 在每个格子中标记哪些 $(s, t)$ 对应点满足 $|P(s) - Q(t)| \le r$；
• 然后检查是否存在一条从左下角到右上角的非递减路径，沿着 “白色区域” 前进。

如果存在这样一条路径，就说明 Fréchet 距离 $\le r$。

# ⏱️ 时间复杂度：$O(mn)$

其中 $m$ 和 $n$ 是两条曲线的点数。

# 🧮 3.2 精确计算 Fréchet 距离

真正的 Fréchet 距离是：满足上面路径条件的 “最小 r” 是多少？

# ✅ 解法思路：

• 将所有可能的临界距离（例如点对之间的距离）排序；
• 用二分法或者参数搜索，在这些候选值中找到最小的满足条件的 $r$；
• 每次都调用上面的决策算法。

# ⏱️ 时间复杂度：$O(mn \log mn)$（当前最优）

# ❓ 3.3 开放问题

尽管已有算法很优秀，但仍有几个悬而未决的问题：

1. 是否存在亚二次时间的精确算法？

   • 也就是说，是否能做到 $O(n^{2 - \varepsilon})$ 的精度计算？

2. 是否可以更快地逼近 Fréchet 距离？

   • 对于某些特殊类型的曲线，比如：
     • c-packed 曲线（即 “不会绕太多圈” 的轨迹），
     • 存在近似 Fréchet 距离的线性时间算法！

# ✂️ 4. 曲线简化（Trajectory Simplification）

# 🧭 4.1 动机（为什么需要简化？）

• 实际轨迹数据中包含大量 GPS 或传感器采样点，点数可能成千上万；
• 如果直接用这些点计算 Fréchet 距离或执行聚类、比对等操作：
  • 会很慢，占内存，甚至难以可视化；
• 所以我们希望：

  在不改变轨迹形状的前提下，尽可能少地保留点数

# 📚 4.2 常见算法（不同需求下的选择）

# 1️⃣ Ramer–Douglas–Peucker（RDP）算法

• 核心思想：递归分割曲线，保留转折大的点，删掉 “直线段上多余的点”；
• 误差度量：基于 Hausdorff 距离；
• 适用性：简单好用，适合快速粗略压缩；
• 复杂度：
  • 最坏 $O(n^2)$（所有点都要递归比较）；
  • 通常情况下为 $O(n \log n)$。

# 2️⃣ Simple Simplification（Driemel et al., 2012）

• 核心思想：从起点开始向前走，每段简化边长度 ≥ $\varepsilon$；
• 只要 Fréchet 距离误差不超过 $\varepsilon$，就可以 “跳过中间点”；
• 误差度量：Fréchet 距离，控制整体形状保留；
• 优点：运行快，代码简单；
• 时间复杂度：$O(n)$，线性时间；
• 适用性：非常实用，适合大数据下快速处理。

# 3️⃣ Agarwal et al. 算法（2005）

• 目标：在 Fréchet 距离约束下，找出 “最短长度” 的简化曲线（最少点数）；
• 方法：将曲线简化建模为图最短路径问题；
• 误差度量：Fréchet 距离，结果理论上最优；
• 时间复杂度：$O(n \log n)$；
• 适用性：适合精确压缩任务，对点数敏感的分析任务非常有效。

# ✅ 总结建议

# ✅ 5. 总结

本节课程围绕轨迹曲线的相似性与简化，重点内容包括：

# 📌 核心主题：

• 介绍了 Fréchet 距离，它是一种考虑曲线连续性与顺序的相似性度量；
• 特别适用于比较真实轨迹数据（如 GPS 路径、人和动物运动等）。

# 🔧 技术要点：

1. 自由空间图：作为判断 Fréchet 距离是否小于某个阈值的几何工具；
2. Fréchet 计算方法：包括判定算法与最优距离计算，时间复杂度最优为 $O(mn \log mn)$；
3. 三种曲线简化算法：
   • RDP（基于 Hausdorff）；
   • Simple Simplification（线性时间、误差控制）；
   • Agarwal 最优算法（结果点数近似最小）。

# 📈 应用意义：

• 曲线简化 与 相似性比较 是空间数据分析中最常用、最重要的基础操作；
• 广泛应用于轨迹挖掘、聚类、可视化、预测分析等实际任务。