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# 为什么要用

因为如类似于最小生成树这样的问题，当量级上去了，时间复杂度也会以非常夸张的形式提升，所以有些时候，我们宁可牺牲一点选择近似的方式，但是时间复杂度会快非常多

# 两种近似方法

# 启发式

启发式方法在实际中很好用，比如用 AI、贪心、局部优化等等。但问题是 —— 你无法证明这个方法一定能给出好结果，有时候甚至什么都算不出来

# 近似算法

而我们要讲的，是有保证的近似算法。这些算法有一个好处 —— 无论多难的题，它至少不会比最好的答案差太多，比如最多差 2 倍。
但同时 如果我们只能证明他最多差 100 倍，那么这也就说明可能存在差 100 倍的情况。不过大多数情况下并不会差太多。

# δ- 近似算法

# k-center clustering (重心聚类) 问题

Gonzalez 算法：
这个算法以一个城市为例，我们每次选择的重心都是以目前最远的点为中心，所以理论上这样肯定可以包含两个点之间的所有点。
然后可以分为两种情况讨论。
1. 如果最优圆恰好包含某个中心点。
那么这样就好解决了，因为如果这个最优圆包含了中心点的话，那么说明只要以我们选中的这个中心点为圆心，并以最优圆两倍半径为半径的话，肯定可以包含所有的点。这就说明我们可以以两倍成本包含所有点。

2. 如果最优圆没有包含任何中心点。
那么这就是另一种情况了，说明那一部分点到中心点太远了以至于无法包含进去，但是既然我们画的中心点也会包含所有的点，那么说明这一部分点一定是被两个中心点所构成的圆所包含了。即被夹住了。那么我们以这两个中心点的最优半径两倍大小的圆，一定可以直接包含这两个中心点，那么也解决了问题。所以也可以以两倍成本包含所有点。

# WSPD

接下来用到一个工具，用来解决这一类问题

WSPD 是一个用来处理 “所有点对之间关系” 的聪明方法。
如果你有 nn 个点，要比较所有的点对，总共有 n(n−1)/2n(n-1)/2 对，太多了！
WSPD 满足一个条件，即
设 AA 和 BB 是两个点集：

  • 包住 AA 和 BB 的球半径为 rr；
  • 两个球之间的最近距离 ≥s⋅r\geq s \cdot r，即远远分开。
  • 这称为分的很好
    WSPD 还满足两个性质
  1. 对于任意 p,p′∈A
    ∣pp′∣≤2s⋅∣pq∣|pp'| \leq \frac{2}{s} \cdot |pq|
    其中 q∈B
  2. 对于任意 p∈A,q∈B
    ∣p′q′∣≤(1+4s)⋅∣pq∣|p'q'| \leq \left(1 + \frac{4}{s} \right) \cdot |pq|

这两点都很好理解，这两个数值都是在极端情况下的距离比例，因此其他情况的比例都会小于这两个值

接下来我们来解决一些问题

# 最近点对问题（Closest Pair）

我们可以假设，我们仅仅需要考虑最近点对存在于由单一点组成的集合 A 和另一个单一点 B 组成的集合。
为什么？我们可以来证明
#TODO 我不清楚为什么这么证明
由于 WSPD 的性质，如果我们选择的点对不是单个点组成的，那么根据性质
∣pp′∣≤2s⋅∣pq∣|pp'| \leq \frac{2}{s} \cdot |pq|
就可以得到 pp' < pq
这显然不合理，所以我们需要选择单个点对

# “直径（Diameter）” 问题

这个同样可以用性质来解决
这个问题允许我们拥有一定的误差 1−ε
我们可以挑选 A，B 中的随意两个点 p，q
算法步骤：

  1. 初始化 diam:=0

  2. 构造 P 的 WSPD，使用 s = \frac{4(1 - \varepsilon)}

  3. 对于 WSPD 中每一对 (Ai,Bi)(A_i, B_i)(Ai​,Bi​)：

    • 随便从 Ai 里选一个点 p，从 Bi​ 里选一个点 q

    • 更新 diam:=max⁡(diam,∣pq∣)\text{diam} := \max(\text{diam}, |pq|)

  4. 返回 diam

还记得之前讲的 WSPD 性质 2 吗？

∣p′q′∣≤(1+4s)⋅∣pq∣|p′q′| \leq (1 + \frac{4}{s}) \cdot |pq| 反过来就有
∣p′q′∣≥11+4s⋅∣pq∣|p′q′| \geq \frac{1}{1 + \frac{4}{s}} \cdot |pq|
如果我们把 s=4(1−ε)εs = \frac{4(1 - \varepsilon)}{\varepsilon} 带入，就能推导出：
∣p′q′∣≥(1−ε)⋅∣pq∣|p′q′| \geq (1 - \varepsilon) \cdot |pq|

# t-spanner