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# 📌 数学推导目标

我们希望算出：

对一个固定的查询点 $q$，在所有 $n!$ 条线段插入顺序下，它的查询路径（走 DAG 的节点数）平均是多少？

# 🧱 定义记号

• $X_i$：第 $i$ 条线段插入时，是否导致查询路径中新增了一个节点。
  • 是：$X_i = 1$，否：$X_i = 0$
• 那么 $\sum_{i=1}^n X_i$ 表示：最终查询路径长度
• 我们关心的是期望值：$\mathbb{E}\left[\sum X_i\right]$

# 🎯 推导第一步：期望线性性

因为期望是线性的，我们可以把和移进来：

$$\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i]$$

# 🔁 推导第二步：反向分析得出 $\mathbb{E}[X_i] \le 3 \cdot P_i$

老师说：

• 每次新增的路径节点，最多和一个 “新生成的梯形” 有关；
• 而一个梯形最多由 4 个元素定义（上下左右边）；
• 插入第 $i$ 条线段后，新生成一个与查询路径相关的梯形的概率 $P_i$ 满足：

$$P_i \le \frac{4}{i}$$

又因为可能有多个节点（比如 DAG 中三层结构），所以老师用一个常数 3 进行保守估计：

$$\mathbb{E}[X_i] \le 3 \cdot P_i \le \frac{12}{i}$$

# 📉 推导第三步：总期望路径长度

代入后我们得到：

$$\mathbb{E}\left[\sum X_i\right] \le \sum_{i=1}^n \frac{12}{i}$$

这就是著名的调和级数，我们知道它是：

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \ln n + \gamma \approx O(\log n)$$

所以最终：

$$\mathbb{E}\left[\sum X_i\right] = O(\log n)$$

# 🧒 通俗解释

你可以这样理解：

• 每次插入新线段，都可能 “扰动” 查询路径；
• 但插入越晚，越难扰动（因为已有结构稳定）；
• 所以我们用 $\frac{1}{i}$ 来估计 “扰动概率”；
• 加起来发现扰动总量是 $O(\log n)$，也就是查询路径长度。

# 📦 空间复杂度期望值推导（Expected Space = O (n)）

# 🎯 我们要解决的问题：

在整个 RIC 构建过程中，DAG（查询结构）里一共会产生多少个节点？
这些节点包括：

• 叶子节点（对应每个梯形）
• 内部节点（x-node、y-node，用来比较）

# 🧱 定义记号：

我们用以下符号：

• $k_i$：第 $i$ 条线段插入后新增的梯形数
  • 每个梯形会生成一个 DAG 叶子节点；
  • 可能会多几个用于比较的中间节点，但这是常数级别。

那么：

• 总的空间开销 ≈ $\sum_{i=1}^n (k_i + \text{常数})$

# 🧠 关键思想：反向分析

我们采用和查询路径类似的技巧：

用反向思考：如果从已完成的结构中 “删除” 某条线段，
可能有多少梯形因为它的删除而消失？

# 🧮 数学估计：

• 一个梯形最多由 4 个元素定义（上边、下边、左点、右点）；
• 如果你在第 $i$ 次插入一条线段：
  • 它 “被选中成为某个梯形边” 的概率 $\le \frac{4}{i}$；
• 所以第 $i$ 次插入的期望新梯形数为：

$$E[k_i] \le \frac{4}{i}$$

# 🧮 总空间期望值

把每次插入的贡献加起来：

$$E[\text{总叶子数}] = \sum_{i=1}^n E[k_i] \le \sum_{i=1}^n \frac{4}{i} = O(\log n)$$

但这是 “和查询路径相关的梯形数量”！

实际上：

• 插入任意一条线段，它平均只穿过 $O(1)$ 个梯形（经过分析）；
• 每条线段生成的梯形个数期望是常数；

所以所有线段插入后的总期望空间是：

$$O(n)$$

# ✅ 最终结论

• 每条线段插入后，平均只会增加常数数量的节点；
• 所以总空间是 $O(n)$（期望意义下）；
• 这是目前已知点定位问题中空间最优的算法之一！

# 🧒 通俗解释

就好比你画图时，每加一根线，只需要加几块 “新的玻璃板”（梯形）；
你不会因为一条线，就整个屋顶重建；
所有线段画完后，板子数大约是 “线段数量的倍数”—— 就是 $O(n)$！

是否还需要我为你继续推导 “期望构建时间 $O(n \log n)$” 的分析过程？

# 🛠️ 构建时间期望值推导（Expected Construction Time = O (n log n)）

# 🎯 问题目标：

构建整个 DAG（包括插入所有线段、更新结构等）的总预期耗时是多少？

# 🧱 操作分解（每插入一条线段都做了什么？）

对于每条线段 $s_i$，我们做了两件事：

1. 定位 zone（也就是它穿过了哪些梯形）；

   • 这相当于对线段两个端点做查询；
   • 每个查询花费 $O(\log i)$ 时间（因为 DAG 深度期望为 $O(\log i)$）；

2. 删除旧梯形、插入新梯形结构、更新 DAG；

   • 我们已经知道，新生成的梯形数 $E[k_i] = O(1)$；
   • 每生成一个梯形，插入 DAG 结构只花常数时间；

# 🧮 单次插入的期望耗时

所以第 $i$ 条线段插入的期望耗时为：

$$T_i = O(\log i) + O(k_i)$$

我们知道 $E[k_i] = O(1)$，所以：

$$\mathbb{E}[T_i] = O(\log i)$$

# 🧮 总构建时间期望值

加总所有 $n$ 条线段的插入成本：

$$\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[T_i] = \sum_{i=1}^n O(\log i) = O(n \log n)$$

这就得到了我们想要的结果！

# ✅ 最终结论

# 🧒 通俗解释

可以把每次插线段看成 “在地图上规划一条道路”：

• 你要先查这条线会经过哪些地块（花 $O(\log i)$ 时间）；
• 然后把旧地块删掉、分成新地块；
• 平均来说每条线只穿几个地块；
• 所以整体地图更新的成本不会爆炸，最终是 $O(n \log n)$！

下一个部分是总结整个 Point Location 方法的优势和对比，也可以补充历史背景与其他方法的比较。是否继续？