lec3 Convex hulls and the sweepline technique - 计算几何 - 计算机科学

lec2 中学习的是如何把一个多边形切割开来；而这节课学习的就是，如何把一堆点给包起来
就像你在地上撒了一把钉子，然后用一根橡皮筋把它们围起来，拉紧之后那个形状就是 “凸包”。

所以，构造凸包的这个过程，我们还是从暴力解法开始

朴素暴力解法
我们可以假定一个结论：将点集 S 中的所有点遍历一遍，然后将这些三角形中包住的点都删除；最后剩余的这些没有被包围的点，一定是凸包的顶点。(作为三角形顶点或位于三角形边上的点不被删除)
那么我们就可以
#算法步骤（CH1）：
遍历 $S$ 中所有可能的三元组 $(x, y, z)$ ：一共 $\binom{n}{3} = O(n^3)$ 种组合。
对每个组合 $(x,y,z)$ ，遍历点集中每个点 $q$ 。
检查 $q$ 是否落在三角形 $(x,y,z)$ 内部。
如果是，就把 $q$ 从 $S$ 中删除。
最后剩下的点就是 CH 顶点，把它们按极角排序后连接成凸包。
总时间复杂度： $O(n^3 \cdot n) = O(n^4)$

接下来，我们可以对这个算法进行一定的优化
2. 优化算法
我们从另一个角度考虑，S 中的所有点，必然位于凸包的边 xy-> 有向直线的右侧，故我们不需要对三维的所有点进行遍历，只需要对二维的点进行遍历即可，然后判断是否其余所有点都位于他们的右侧
算法步骤（CH2）解释：
3. 遍历所有有序点对 $(x, y)$ （注意是有序的）

假设该边合法（valid ← true）
对其它点 $z$ 遍历判断：
- 判断 $z$ 是否在直线 $xy$ 的左侧（说明不合法）
如果发现一个点在左侧，就将 valid 设置为 false
最后，如果 valid 仍为 true，说明 $xy$ 是 CH 的边之一
加入这条边到 CH 边集
所有边加入完毕后，排序构造完整凸包
总时间复杂度： $O(n^2 \cdot n) = O(n^3)$

接下来，看看实际当中用的比较多的三种优化算法。

在讲算法之前，老师首先对前面的判断进行了补充：如何判断一个点位于线的左边还是右边
通过叉积，然后根据最后值的正负来判断点位线的哪一边
这边老师带过了一个算法：Graham Scan
想象你在给钉子围上橡皮筋：

从最左边的点开始；
你想找到 “下一个最外面的点”；
怎么找？转一圈，看哪个点相对现在这个点最靠外（最逆时针）；
一直这样找下去，直到绕一圈回到起点。

# ch (凸包) 的三种构造算法

# Gift Wrapping（礼物包装）

通俗来理解可以说：
想象你在给钉子围上橡皮筋：

从最左边的点开始；
你想找到 “下一个最外面的点”；
怎么找？转一圈，看哪个点相对现在这个点最靠外（最逆时针）；
一直这样找下去，直到绕一圈回到起点。

实际上的过程就是：

你从左下角开始；
你看着所有点，假装你有一个 “激光扫描器”；
每次 “顺着边扫一圈”，找到第一个 “最外边” 的点（就是逆时针最远的点）；
把这条边加入凸包；
然后从这个新点再开始下一轮扫描。
你站在当前点 A，看到两个候选点 B 和 C：
谁更逆时针？就是谁形成的角度更大；
用叉积公式判断：

$\text{cross}(A, B, C) = (B - A) \times (C - A)$

如果 cross 值为正，说明 C 比 B 更逆时针 ⇒ C 更好！
所以，就是一个从起点开始，转着找下一个点 -> 再以下一个点为起点，找下一个点的过程，直到找到所有的点。

那么，有优化的空间嘛？
有的！
可以不用每次都遍历所有的点以找下一个点 q，而是可以通过检查角度来判断，如果新的角度大于旧的最大角，那么这个点就是新的点。

所以，他们的区别在于，暴力解法需要对所有的点做叉积比较来判断是否都在左边，而优化后只需要比较角度就可以了
一个是 $O(n^2)$ 的时间复杂度，因为需要嵌套；而后者为 O (n) 的复杂度，只需要线性即可。

# quick hall

Divide-and-Conquer approach 分治
这个算法可以理解成
想象你在玩 “谁离得最远” 的游戏：

找出最左点 AAA 和最右点 BBB，画出一条直线 ABABAB；
把所有点分成两边（上方、下方）；
找出 “离直线最远” 的那个点 CCC，它肯定是边界上的；
把 C 连上 A 和 B，形成三角形；
再看哪些点在这个三角形 “外面”，对它们重复上面的步骤；
直到所有点都在边界三角形里为止，完工！

![[Pasted image 20250603145633.png]]

时间复杂度：
最好情况：每次都能把点均匀切开
即二分查找复杂度。O (nlogn)

最差情况：所有点都在边上，如五角星形的分布
$O(n^2)$

# 扫描线算法

将这些点以 x 轴从小到大排列，并且分为下凸壳和上凸壳，然后最后再将他们拼起来。
在凸包上行走时观察是否右拐，如果左拐了就把这个点删了。如果右拐就继续。
伪代码：

1.  Sort the points left to right
2.  Initialize L_upper with first two points
3.  For i = 3 to n:
4.     Add p_i to L_upper
5.     While L_upper has a left turn:
6.         Delete the middle point
7.  同理构造 L_lower
8.  最后将 L_upper 和 L_lower 合并

因为每个点只会加入和删除一次，所以时间复杂度为 O (nlogn)

然后就是计算凸包的下界，我们可以低于 nlogn 吗？
用数学归纳法，将凸包转化为排序问题，而排序算法的下界为 nlogn，所以凸包不可能低于 nlogn

# Chen 算法

Chan 算法就像一个聪明的厨师：

Graham 是大锅炒（适合处理很多点）；
Gift Wrapping 是慢工细活（适合边界点很少）；
Chan 想了一个办法：先猜边界点有多少（比如 h=4），然后只挑这些来 Gift Wrapping，结果超快！
相当于是 graham 和 gift wrapping 的结合，将所有点分为 n/h 组，然后对每一组使用 graham 算法，得到每一组的局部凸包，然后对这些局部凸包使用 gift wrapping，所以最终的复杂度为 nlogh

# ch (凸包) 的三种构造算法

# Gift Wrapping（礼物包装）

# quick hall

# 扫描线算法

# Chen 算法

lec7 Principles ofData Science

期末复习2