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首先，讨论了一个现实问题，引入了线性规划相关的知识，即通过一系列的不等式规划出一个区域，然后将目标函数与目标区域的相交点结合，看哪个点最好

# 增量算法

可以首先添加一个简单的且很大的边界，然后将约束条件一次次加入这个区域中，如果最优点 v_i-1 仍然在最新的区域中，那么 v_i=v_i-1，否则重新计算 v_i
复杂度：O(n2)O(n^2)
由于每一轮的遍历复杂度都为 O (i)，进行 n 个循环
这是最坏的情况，那么如果我们一开始就将最重要的两个限制加入，直接确定了最终的点 v，那么我们的复杂度会非常低，变成 O (n)，但是如果要找到这种最好的顺序，几乎是不可能的，因为情况太多了，所以，我们考虑了接下来这种方式

# 随机增量算法

一系列证明过程，证明随机化后的期望时间为 O (3n) 也就是 O (n)

然后可以引入，最小外接圆问题，有一系列的点，如何找出这个最小的外接圆，能包含所有的点；
我们也可以用随机增量算法来实现，即一次次加入点，如果这个点在圆外，那么这个点一定在新的最小外接圆的边上。

# MinDisk 算法

伪代码讲解：

  1. 把所有点随机排列。

  2. 用前两个点画一个圆。

  3. 然后一个一个加点：

    • 如果新点在旧圆里 → 不用动。

    • 如果新点不在圆里 → 那我们就需要重新算一个新的圆，而且这个点一定在边上。

    这时我们调用另一个函数：MinDiskWith1pt（已知一个边界点来画圆）。

现在你已经知道有一个点（pi）肯定在圆的边上了，那怎么画这个最小圆呢？

老师的方法是：

  1. 把之前所有的点（pi 之前的那些）随机排列。

  2. 用第一个点 p₁ 和 pi 一起画一个圆。

  3. 然后一个个把剩下的点放进去：

    • ✅ 如果这个点还在圆里，什么都不做。

    • ❌ 如果这个点不在圆里，那它也得在新圆的边上。

这时候我们需要再调用一个新函数：MinDiskWith2pts（已知两个边界点来画圆）。

还是用小朋友能懂的语言：

  1. 把之前的点再随机排列一遍。

  2. 用 pi 和 pj 这两个点先画一个圆。

  3. 然后一个个加点：

    • ✅ 如果在圆里，继续。

    • ❌ 如果不在，就用 pi、pj、pk（这三个点）画一个新的圆。

这时候，新的圆一定会把这三个点刚好包在边上。