lec5 Range Searching 1

重点:kd-tree 和 range tree

首先，可以参考 ass2 的第一题，kd-tree 的绘制和 range-tree 的绘制。

其次，我们来一点点深入了解这几个知识点。

# kd-tree

kd-tree 在后续的许多应用中都会有涉及。
首先，构建 kd-tree 需要 O (nlogn) 的构建时间和 O (n) 的构建空间 (具体推导过程可以去看 ppt)
🔹 方案一：使用排序方式找中位数
在每一层：

1. 排序或选择中位点： O (n) 或 O (nlog⁡n)，具体取决于用排序还是选择算法。
2. 划分左右子树： O(n)
3. 递归调用左右子树： 每边是 n/2 个点
   于是：
   $T(n) = O(n) + 2T(n/2)$
   这就是典型的完全二叉树构建递归式，解出来是：
   $T(n) = O(n \log n)$
   以及标准的平衡二叉树空间复杂度 O (n)
   然后是查询的时间复杂度

查询时间分析核心思想
我们想知道：有多少个 “被访问但不产生结果” 的节点？（即这些节点的 region 与 R 相交，但最终不包含任何点）
老师采用的是可视化 + 递归建模来分析。

• 假设我们用一条竖线 L 穿过查询矩形 R；
• 然后问：有多少个 KD-Tree 划分出来的矩形 region 会跟这条 L 相交？
  结论：

这个数量最多是 $O(\sqrt{n})$，再乘上一个常数（最多 4 个区域被每个水平或垂直线段交到）。

定义 Q (n)：查询一个 KD-Tree 有 nnn 个点时最多访问的节点数。

1. 第一层我们访问 1 个节点；
2. 第二层我们可能访问它的两个子树（假设是四个区域）；
3. 然后分别继续查各自的左右子树。
   于是得：
   $Q(n) = 1 + 2Q(n/2) \quad \Rightarrow \quad Q(n) = O(\sqrt{n})$

✅ 五、最终查询时间总结（第 6 张图）
你可以记住这句最核心的 KD-Tree 查询时间分析结论：
${查询时间} = O(\sqrt{n} + k)$
其中：

• $\sqrt{n}$​：是最多访问这么多个 “无用节点” 的上界；
• k：是最终在矩形 R 中找到的点的个数（输出代价）。

# range-tree

通俗来讲，就是把树按照 x 来排列，然后在每个子节点的上面挂一个子树，存放着 y 坐标
但是因此时间复杂度较高，因为两个树进行二分查找的时间复杂度都为 O (logn)，因此，总的复杂度需要 O (logn) * O (logn) = $O(log^2n)$
那么有什么优化的方式吗？
Fractional Cascading
将 Range Tree 的子树部分切割成指针引导的结构，即可以 把子树的二分查找的优化掉。