首页 计算机科学 随机算法

这一节着重讨论了线性规划的内容，并且通过线性规划重新讨论了第 5 节的 min-cut 问题。
首先讨论了普通的线性规划，然后提出了整数线性规划
由于有些问题，比如 0-1 背包问题，又或是 min-cut 问题，这些问题的参数并不能为连续的变量，只能是整数。但是由于 ILP (整数线性规划) 是一个 NP-hard 问题，有时候无法在多项式时间内求解，因此我们来讨论将 ILP 放松并界定的方式

比如说，我们将这个 min-cut 问题用 ILP 的方式列出来。
![[Pasted image 20250613075501.png]]

但是他的求解是困难的，所以我们可以将他 relax 成 LP 问题，
![[Pasted image 20250613075550.png]]

  • 原来你只能 “封” 或 “不封” 一条路；
  • 现在我们放宽要求，允许 “封一半”（虽然不现实），比如：
    • 路 A 封 60%，路 B 封 10%；
  • 这听起来很奇怪，但数学上这样写，计算机会更容易解出最好的选择；
  • 虽然它不是真正的 “最小割”，但我们能用它得到一个接近的好答案！

但是 实际上我们的结果必须是确定的，那么比如 A 是 40%，b 是 60%，我们该如何选择呢？
1. 四舍五入
字面意思，但是会有一个问题，如果用四舍五入的话，我们 relax 成 LP 问题的意义就没有了，所有的数据都是四舍五入，容易导致结果的偏差

2.Randomised Rounding（随机阈值法）

  • 从 0 到 1 中随机选择一个阈值 τ\tauτ；

  • 然后：如果 yv>τy_v > \tauyv​>τ，就设成 1，否则设成 0。

💡 随机选择能 “平均” 掉一些不确定性，让你获得一个 “平均意义下表现不错” 的解。

老师说：

  • “如果你总是用 0.5 作为标准，那就不能利用 LP 解出来的那些信息！”

  • “我们应该利用 x∗x^*x∗ 和 LP 的所有变量，结合这些信息来做一个合理的、统计上可靠的转换。”

  • “所以更好的方法是：随机化（Randomised Rounding）。”
    流程:
    ![[Pasted image 20250613080509.png]]

边被切的条件是：
yu=0y_u = 0，yv=1y_v = 1
换句话说：
yu∗≤τ<yv∗y_u^* ≤ τ < y_v^*
所以这条边被切的概率就是：
Pr⁡[τ∈(yu∗,yv∗)]=yv∗−yu∗\Pr[\tau \in (y_u^*, y_v^*)] = y_v^* - y_u^*

所以经过一系列推导，可以得到结论
！[[Pasted image 20250613105153.png]]
min-cut 问题是一个已经有解法的问题，这里只是热身，接下来要解决一个真正的 NP-HARD 的问题

# Max-Sat

这个问题就是

  • 游戏道具：

    • 有一堆开关，每个开关只能是 开 (1) 或 关 (0)。

    • 老师写下了很多规则（子句）。

      • 每条规则长这样：

        “只要 开关 A 开着 或者 开关 B 关着 或者 …，我就满意。”

      • 也就是说，只要里面有一个条件被满足，这条规则就算 “真”。

  • SAT（可满足）

    • 问题：能不能找到一种开关状态，让老师的所有规则都满意？

    • 如果能做到，游戏通关；如果做不到，就失败。

  • Max-SAT（最大可满足）

    • 现实常常做不到让老师 100% 满意。

    • Max-SAT 换个问法：

      “在最理想情况下，最多能让老师满意多少条规则？”

    • 你的任务就是找出那种开关组合，让被满足的规则数量尽可能多。

  • 为什么麻烦？

    • 有 nnn 个开关时，可能的开 / 关组合有 2n2^n2n 种，枚举不上。

    • 所以 Max-SAT 被称为 NP-Hard：电脑也很难一下子找到最优答案。
      ![[Pasted image 20250613105344.png]] 所以这个算法是一个 1/2 近似算法
      ！[[Pasted image 20250613105427.png]]