需要解决流式算法的问题，我们有两种思路，一种是乘法近似，一种是加法近似
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接下来介绍第一个问题
# Majority 问题
这个问题需要解决的是，在一个流式输入的过程中，是否有哪个元素的出现次数 > m/2
或者是一个变量，比如 1/k 的 m
为了解决这个问题，我们可以用以下算法
- Misra-Gries algorithm
这个算法的定义是，由于我们只有很小的一个空间用来存放数据，所以我们可以使用一种算法，例如我们只有 1/ε 的空间，所以，我们在每个元素流过时执行以下的操作：
1. 如果这个元素还未存在，且我们的空间还没满，那么将他加入空间并记录次数 + 1
2. 如果这个元素已经存在了，那么对他的计数 + 1
3. 如果这个元素没有存在且空间已经满了，那么对所有的现存元素 - 1
复杂度
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# Approximate Counting 近似计数问题
现在，我们想要用更小的空间来记录数据，logm 还是太大了，所以，我们不需要那么准确，只需要近似等于即可，
Morris Counter 原始算法（近似计数）
他通过限制数量增长的趋势来控制空间，![[Pasted image 20250614135235.png]]
由于概率是 1/2 的 x 次 - 1，所以他需要的空间就从原本的 n 变成了 logn，而需要存储的空间的 bits 就变成了 log log n，大大降低了存储的空间
这里，我们用到了条件期望
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通过对比
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方差较大，这不是我们想要的，所以，我们有一些别的方法来阻止这个问题
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这里讲一下中位数版本的
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但是我们真的需要这么多方法来确定这个值吗？
只有在确定需要将概率放大到什么值得时候再使用
但是朴素得 Morris Counter 仍然有一些问题，他的增长太快了，可能会有一些误差，所以我们可以替代原有的这个比率，重新选择一个比率来缓解这个问题
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# 第三个问题 Distinct Elements（不同元素计数）
这个问题就是，有多少个不同的元素在这个数据流过去的过程中。
第一种算法： Tidemark (AMS) algorithm
这个方法很聪明，由于我们无法存下所有的元素，所以，我们可以使用一个哈希函数，来将元素映射到一个二进制表中。由于使用了二进制表来存储，最后获得的数学期望越大，说明元素越多。而由于可能存在一些极端值影响，所以我们可以使用多个哈希函数取中位数或者平均值。
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优化：BJKST algorithm
与前面类似，我们也可以使用哈希函数，思路都完全相同，只是在这边我们只保留前 k 个元素
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