# 📌 数学推导目标 我们希望算出： 对一个固定的查询点 qqq，在所有 n!n!n! 条线段插入顺序下，它的查询路径（走 DAG 的节点数）平均是多少？ # 🧱 定义记号 XiX_iXi​：第 iii 条线段插入时，是否导致查询路径中新增了一个节点。 是：Xi=1X_i = 1Xi​=1，否：Xi=0X_i = 0Xi​=0 那么 ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i∑i=1n​Xi​ 表示：最终查询路径长度 我们关心的是期望值：E[∑Xi]\mathbb{E}\left[\sum X_i\right]E[∑Xi​] # 🎯...

# 1. 平面点定位问题 首先代入日常生活，就如同我们使用地图软件一般，我们点击某个点的时候，我们需要快速判断出我们点的是哪个区间的点。 自然而然的可以想到的就是暴力法，即每次搜索点的时候都通过线性扫描扫描所有的点，但是这样的效率太低了，每次都需要 O (n) 的时间复杂度，所以接下来我们考虑别的方式 # 1.1 垂直切分法（Vertical Slab Decomposition） 如图所示，我们可以按照每个点所在的 y 轴进行切分，然后根据二分查找，第一次找出点所在的 slab。 然后，找出在哪个 slab...

# 🎯 1. 背景与目标 # 📌 应用场景 轨迹数据广泛存在于以下应用中： GPS 路径（车辆、手机用户行驶轨迹） 雷达 / 卫星跟踪（如台风移动路径） 动物迁徙轨迹（如候鸟、鲸鱼） 运动轨迹数据（如跑步者、球员移动） 这些轨迹数据常常由很多点组成，呈折线状。 # 🧠 分析目标： 从这些轨迹中提取有意义的行为模式，例如： 找出聚集区域（多个个体集中活动）； 分析路径形状（如迁徙路线）； 进行预测分析（如风暴路径预测）。 # ❓ 要解决的两个核心问题 相似性问题： 给定两条轨迹，如何判断它们的相似程度？ 哪些方法能更准确刻画...

# 1. 为什么需要逼近算法？ # 1.1 计算难度：NP-Hard 很多现实中的优化问题都是 NP-hard，即没有已知的多项式时间算法。 例如：Euclidean TSP（旅行商问题）、Quadratic Assignment（二次指派问题）等。 这些问题只能在小规模实例上通过精确算法解决。 # 1.2 运算成本高 即使问题不是 NP-hard，在高维空间或大规模数据下，精确算法也往往太慢。 举例： 2D 最小生成树：O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn) 高维 kkkD 最小生成树：O(n2)O(n^2)O(n2) 使用逼近算法可将其降至...

# 1. 问题定义：什么是 Planar Point Location？ 目标：给定一个平面细分（由线段将平面划分成多个不重叠区域），我们希望预处理它，使得对于任意查询点 qqq，可以快速判断它位于哪个区域（face）中。 输入：包含 nnn 条边的平面细分 SSS。 查询：给定一个点 qqq，返回包含它的面。 # 2. 第一种方法：暴力线性扫描 思路：遍历所有面，检查查询点 qqq 是否落在其中。 做法： 对每个面进行点在多边形内的判断（如射线法或环绕数方法）。 时间复杂度： 每个面 O(k)O(k)O(k)，总共...

# 1. 点线对偶（Point-Line Duality） 点线对偶是计算几何中的一种基本变换思想，它允许我们在平面上将点与线互相转换，并在保持几何关系的前提下，从不同的角度简化问题。 # 1.1 什么是点线对偶 点线对偶（也称为几何对偶）是一种函数或映射，将平面中的一个几何对象（如点）转换为另一种对象（如直线），并且可以保持或反映其之间的几何关系，如： 点与直线的交关系； 点在线的上下方位置关系； 共线性、共点性等结构性质。 这种变换是一一对应的，即每个点对应唯一的一条线，反之亦然（在限定条件下）。 # 1.2...

# 决策树 1234567891. SELECT DISTINCT store_id FROM Tx WHERE month = 5;2. SELECT DISTINCT c.name FROM Tx t JOIN Tx_Cakes tc ON t.tx_id = tc.tx_idJOIN Cake c ON tc.cake_id = c.cake_id WHERE t.month = 5;3. SELECT t.month,SUM(t.value) AS total_value,AVG(t.value) AS avg_value,COUNT(tc.cake_id) AS...

# Voronoi 图复杂度的欧拉公式证明 我们希望证明：对于 n>2n > 2n>2 个点的 Voronoi 图 V(P)V(P)V(P)，其复杂度是线性的： 顶点数 ≤2n−5\leq 2n - 5≤2n−5 边数 ≤3n−6\leq 3n - 6≤3n−6 # 📐 使用欧拉公式 欧拉公式是平面图中的基本定理： V−E+F=2V - E + F = 2 V−E+F=2 其中： VVV 是顶点数 EEE 是边数 FFF 是面数（Voronoi cell 数量，即原始点数 nnn） # 🔧 添加虚拟点使图封闭 由于...

# Lecture 9: Streaming and Sketching II - 内容总结 # Part1 引入流式算法以及解决方案 # 🧩 课程引入：流式算法的挑战 数据以流的形式连续到达，不能全部存储。 算法 A 读取前一部分数据后输出结果 21.5 。 结果还没来得及用，更多的数据又到达了。 再运行 A 得到新的结果 18.1 。 关键问题： 如何把两个结果合并成一个整体答案？ # 🧠 引入 Sketching 的概念 对每段数据 σ ，算法 A 生成一个摘要： S(σ) ，称为 sketch。 特性： S(σ) 是对数据的压缩表示； 可以从 S(σ)...